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\newcommand{\real}{\hbox{\bf R}}
\begin{document}

\begin{centering}
\large\bf Laboratorio de M\'etodos Num\'ericos - Segundo Cuatrimestre 2012 \\
\large\bf Trabajo Pr\'actico N\'umero 3: Autocaras\\
\end{centering}

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{\bf Introducci\'on}

El objetivo del trabajo pr\'actico es implementar un m\'etodo de reconocimiento de caras humanas basado en el c\'alculo de autovalores/autovectores, y analizar emp\'iricamente los par\'ametros principales del m\'etodo.

Como instancias de entrenamiento, se tiene un conjunto de $n$ fotos de rostros en escala de grises del mismo tama\~no y resoluci\'on de las personas a reconocer (varias fotos de cada persona), de manera tal que los rasgos (cejas, nariz, ment\'on, etc.) de las caras en todas las fotos est\'en aproximadamente alineados. Para $i = 1,\ldots, n$, sea $x_i \in \mathbb{R}^{m}$ la $i$-\'esima foto almacenada por filas en un vector.

Sea $\mu = (x_1 + \ldots + x_n)/n$ el promedio de las im\'agenes, y definimos la matriz de covarianza $M \in \mathbb{R}^{m\times m}$ de las im\'agenes como 
$$ M = \frac{1}{n-1} {\sum_{i=1}^{n}{(x_i - \mu)(x_i - \mu)^{t}} }$$Sean $v_1,\ldots,v_m \in \mathbb{R}^m$ y $\lambda_1,\ldots,\lambda_m \in \mathbb{R}$ los autovectores y los autovalores de la matriz $M$, respectivamente, de manera tal que $|\lambda_{i}| > |\lambda_{i+1}|$, para $i = 1,\ldots,m - 1$. Definimos para $i = 1,\ldots,n$ la \textsl{transformaci\'on caracter\'istica} de la cara $x_{i}$ como el vector $\mathbf{tc}(x_i) = (v_1^t\, x_i, v_2^t\, x_i,\ldots,v_k^t\, x_i) \in \mathbb{R}^k$, donde $k \in \{1,\ldots,m\}$ es un par\'ametro de la implementaci\'on. Este proceso corresponde a extraer las $k$ primeras \textit{componentes principales} de cada imagen. La intenci\'on es que $\mathbf{tc}(x_i)$ resuma la informaci\'on m\'as relevante de la imagen, descartando los detalles o las zonas que no aportan rasgos distintivos.

Dada una nueva imagen $x$, que no se encuentra en el conjunto inicial de im\'agenes de entrenamiento, el problema de reconocimiento consiste en determinar a qu\'e persona del conjunto de im\'agenes corresponde. Para esto, se calcula $\mathbf{tc}(x)$ y se compara con $\mathbf{tc}(x_i)$, para $i = 1,\ldots, n$.


{\bf Enunciado}
Se pide implementar un programa que lea desde archivos las im\'agenes de entrenamiento de distintas personas y que calcule los autovectores de la matriz de covarianza de estas im\'agenes, de acuerdo con la descripci\'on anterior. Dada una nueva imagen, el programa deber\'a determinar a qu\'e persona corresponde.El formato de los archivos de entrada y salida queda a elecci\'on del grupo. Si no usan un entorno de desarrollo que incluya bibliotecas para la lectura de archivos de im\'agenes, sugerimos que utilicen im\'agenes en formato \textsc{Raw}. 

El c\'alculo de los autovalores y autovectores de la matriz de covarianza se debe realizar utilizando el m\'etodo QR. 
Si $A^{(r)}=(a_{ij}^{(r)})$ es la matriz obtenida en la $r$-\'esima iteraci\'on del m\'etodo QR, definimos que se interrumpe este m\'etodo si $\sum_{i=2}^{m}\sum_{j=1}^{i-1}{|a_{ij}^{(r)}|}<\delta$, donde $\delta\in\mathbb{R}_{+}$ es un par\'ametro de la implementaci\'on (es decir, cuando la suma de los m\'odulos de los elementos de la parte triangular inferior de $A^{(r)}$ sea inferior a $\delta$).

Se deber\'an realizar experimentos para medir la efectividad del reconocimiento, analizando tanto la influencia de la cantidad $k$ de componentes principales seleccionadas como la influencia de la precisi\'on en el c\'alculo de los autovalores.

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\underline{\bf Fecha de entrega:}
\begin{description}
 \item[Formato electr\'onico:] domingo 18 de noviembre de 2012, hasta las 23:59 hs, a \texttt{metnum.lab@gmail.com}
\item[Formato f\'isico:] lunes 19 de noviembre de 2012, de 17 a 19hs (en la clase de laboratorio).
\end{description}

\end{document}
